Är pi ett reellt tal

Reella tal existerar dem anförande vilket man vanligtvis menar tillsammans anförande. dem är kapabel beskrivas vilket samtliga punkter vid ett kontinuerlig linje, utan för att detta finns glapp mellan talen inom linje. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen.

Exempel på reella tal är 0, 1, -5, 1/2 och \pi π

kvantiteten från samtliga reella anförande betecknas vanligen ℝ alternativt R.

De skrivs ofta vilket avkortade decimalutvecklingar, detta önskar yttra vilket approximationer, mot modell 3,3333... alternativt 1,4142... var "..." indikerar för att flera siffror följer till enstaka mera noggrann bestämning från talet.

Naturliga anförande (icke-negativa heltal, kvantiteten ℕ) existerar delmängden från dem reella talen var decimaldelen existerar noll, medan rationella anförande (bråktalen, kvantiteten ℚ) existerar delmängden från dem reella talen var decimalföljden förändras inom en periodiskt mönster.

detta sistnämnda är kapabel tecknas såsom en bråk tillsammans heltal inom täljare samt nämnare. Några modell är:

Exempel vid reella anförande existerar 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), √2 (irrationellt, algebraiskt), e, pi (irrationella samt transcendenta).^[1] Reella anförande likt ej existerar rationella kallas irrationella anförande.

Definition

[redigera | redigera wikitext]

Med ℝⁿ avses kvantiteten från samtliga n-tiplar

av reella anförande, vilket skrivs x ∈ ℝⁿ. tillsammans ℝ avses ℝ¹.

Ett heltal såsom -10, eller ett rationellt tal såsom \frac {1} {2} 21

ℝ¹ förmå geometriskt tolkas liksom ett punkt vid enstaka linje, ℝ² liksom enstaka punkt inom planet samt ℝ³ liksom enstaka punkt inom rummet. tillsammans med föregående beteckningar kunna oss skriva:

För n > 3 existerar detta svårt för att förklara ℝⁿ geometriskt.

Operationer

[redigera | redigera wikitext]

Operationer såsom existerar definierade på grund av vektorer .

Addition

Skalärmultiplikation

Om gäller

Multiplikation

Längd.

De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen

Längden från existerar

Avstånd. Avståndet mellan samt existerar

Vinkel. Vinkeln mellan samt existerar

, var

Historiskt

[redigera | redigera wikitext]

Under antiken insåg pytagoréerna för att längden vid hypotenusan på grund av ett kvadrat tillsammans enhetssida, √2, ej kunde uttryckas såsom en rationellt anförande (se roten ur två).

Detta kom liksom ett förvåning på grund av dåtidens matematiker, vilket fanns övertygade angående för att dem rationella talen fanns fullkomliga. Man insåg för att detta behövdes fler anförande, bland annat till för att förklara kvadratrötter, dock även till anförande likt π. Man lyckades dock ej hitta ett allmän samt noggrann definition från dessa nya anförande.

På 1800-talet revolutionerades denna sektion från matematiken, då Richard Dedekind gav ett lätt dock mäktig konstruktion från dem reella talen (se Dedekindsnitt). han lät en reellt (positivt) anförande representeras från enstaka öppen delmängd ur ℚ₊.

Denna linje brukar kallas den reella tallinjen

detta reella talet existerar sedan supremum från denna mängd. angående oss låter den aktuella kvantiteten artikel M samt oss önskar producera decimalutvecklingen r till talet, förmå oss vandra mot väga vid detta sätt (för enkelhets skull begränsar oss oss mot talen mellan 0 samt 1):

1. Vilken existerar den största tiondel (0,1 0,2 etc.) sådan för att detta finns anförande inom M såsom existerar större än denna tiondel?
2. Lägg tiondelen mot r
3. Vilken existerar den största hundradel sådan för att detta finns anförande inom M såsom existerar större än hundradelen + r?
4. Lägg hundradelen mot r

Fortsätt oändligt flera gånger, tillsammans tusendelar, tiotusendelar, etc.

På detta sätt ser oss för att en rationellt anförande q representeras inom ℝ från kvantiteten {x ∈ ℚ : x<q}. Man visar sedan för att dem vanliga fyra räknesätten går för att definiera till reella anförande, samt för att dem ger dem konsekvens oss förväntar oss.

Exempelvis är 0 och 1 även naturliga tal, -5 är ett heltal, 1/2 är ett rationellt tal medan pi är ett reellt tal

Utifrån konstruktionen följer för att kvantiteten från dem reella talen existerar fullständig, detta önskar yttra för att varenda Cauchy-följder besitter en gränsvärde (det finns ej några icke-reella anförande vid tallinjen).

Andra representationer

[redigera | redigera wikitext]

De reella talen (mellan 0 samt 1) förmå även ses likt element ur B^ℕ, var basen B existerar enstaka ändlig delmängd ur ℕ.

vid identisk sätt, ifall man låter basen artikel {0,1}, existerar ℝ naturligt homeomorf tillsammans med potensmängden från dem naturliga talen.

Kardinalitet

[redigera | redigera wikitext]

Mängden reella anförande existerar överuppräknelig, detta önskar yttra antalet reella anförande existerar inom kardinalitetsmening större än antalet naturliga anförande ℕ.

Kardinaltalet till dem reella talen existerar 2^ℵ₀ , var ℵ₀ existerar antalet naturliga anförande. i enlighet med kontinuumhypotesen existerar detta detsamma likt ℵ₁ (Alef-1).

De rationella talen existerar bara ℵ₀ mot antalet.

Reella tal är de tal som man vanligtvis menar med tal

dem utgör därför bokstavligen ett försvinnande små sektion från varenda reella anförande. dem irrationella dominerar totalt inom antal. Man brukar illustrera detta tillsammans med nästa något provokativa, nästan paradoxala dock ändå helt korrekta tankeexperiment: Antag för att ni kastar pil vid den reella tallinjen. Då existerar sannolikheten precist 0 för att ni träffar en rationellt anförande.

Reella tal innefattar både alla rationella tal och dessutom alla tal som inte kan skrivas som ett bråk av två heltal, som t ex π \pi och 2 \sqrt2

Egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

De reella talen möter nästa egenskaper:

Associativa lagarna

[redigera | redigera wikitext]

Antag för att a, b, c existerar reella anförande. Då gäller:

Enhetens existens

[redigera | redigera wikitext]

Det finns anförande 0 samt 1 liknande för att till varenda reellt anförande a gäller att:

Inversen

[redigera | redigera wikitext]

på grund av varenda anförande a finns en anförande -a sådant för att a + -a = 0

till varenda anförande a skilt ifrån 0, finns en anförande a ^-1 sådant för att a · a ^-1 = 1

Kommutativa lagarna

[redigera | redigera wikitext]

Antag för att a, b existerar reella anförande.

Då gäller:

Distributiva lagen

[redigera | redigera wikitext]

Antag för att a, b, c existerar reella anförande. Då gäller:

Ordning

[redigera | redigera wikitext]

Det finns enstaka delmängd från dem reella talen P, kallad dem positiva talen.

Alla de rationella talen tillsammans med de irrationella talen utgör de reella talen

ifall a, b tillhör P så:

Fullständighet

[redigera | redigera wikitext]

Om M existerar enstaka delmängd från ℝ, samt M existerar begränsad uppåt sålunda existerar enstaka minsta övre begränsning m (definierad såsom supremum från M, m = sup M).

Begränsningar

[redigera | redigera wikitext]

Lösningar från vissa polynomekvationer mot modell x² + 1 = 0 ligger utanför dem reella talen.

på grund av för att åtgärda liknande ekvationer behövs dem komplexa talen ℂ.

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]